title: Combinatorics of the HOMFLY-PT polynomial
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Дынников Иван Алексеевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Dynnikov Ivan Alekseevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Алексеев Илья Сергеевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Alekseev Ila Sergeevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Малютин Андрей Валерьевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Malutin Andrej Valerevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.date.accessioned
metadata.value: 2023-04-06T21:47:59Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.available
metadata.value: 2023-04-06T21:47:59Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.issued
metadata.value: 2022
metadata.name: dc.identifier.other
metadata.value: 054413
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.identifier.uri
metadata.value: http://hdl.handle.net/11701/39629
metadata.lang: -
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: Настоящая работа посвящена теории узлов. Мы подробно останавливаемся на последних разработках в области полиномиальных инвариантов и получаем новые результаты в направлении мер сложности узлов, задаваемых с помощью их диаграмм.
  Исторически меры сложности играют ведущую роль в перечислении узлов, восходя к концу 19 века, когда П. Г. Тейт, Т. П. Киркман и К. Н. Литтл классифицировали простейшие узлы. Для перечисления узлов составители первых таблиц изображали все возможные проекции с заданным числом перекрёстков и группировали те из них, которые получаются пространственной изотопией. В действительности они следовали некоторым эвристическим постулатам, известным как гипотезы Тейта.
  Как правило, проекции узлов раскрывают мало непосредственной информации об узлах. Например, внешне сложная диаграмма может представлять собой тривиальный узел. Однако, некоторые выдающиеся типы диаграмм, такие как альтернированные и положительные, заставляют узел иметь гораздо больше структуры. В частности, гипотеза Тейта относится к минимальности альтернированных диаграмм по отношению к числу перекрёстков. Только после знаменитого открытия полинома Джонса в середине 80-х годов прошлого века эта гипотеза была доказана. Наша основная цель - получить сравнимые результаты для положительных диаграмм. 
  Ключевым механизмом доказательства гипотезы Тейта является комбинаторная модель многочлена Джонса, основанная на так называемом скейн-соотношении. В настоящей работе мы развиваем этот механизм в направлении многочлена HOMFLY-PT, который обобщает многочлен Джонса.
  Многочлен HOMFLY-PT - это единственная функция, которая отображает каждую ориентированную диаграмму в многочлен Лорана двух переменных и удовлетворяет скейн-соотношению и определенной нормализации. Поскольку этот инвариант определяется в терминах диаграмм, неудивительно, что "сложность" диаграммы ограничивается "сложностью" многочлена. В связи с этим, мы сосредотачиваемся на соответствующих оценках.
  В духе классиков мы исследуем эти оценки для положительных диаграмм и получаем новые критерии минимальности для числа перекрёстков и индекса косы.
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: The present thesis is devoted to knot theory. We elaborate on recent developments in polynomial invariants and obtain new applications for complexity measures of knots given by means of its diagrams.
  Historically, complexity measures play a leading part in knot enumeration, dating back to the end of the 19th century, when P. G. Tate, T. P. Kirkman, and C. N. Little classified the simplest knots. To enumerate knots, the early tabulators sketched all possible knot projections with a given number of crossings and grouped those obtained by spatial isotopy. In reality, they followed some heuristic postulates, known as Tait’s conjectures, related to the ‘tightness’ of special diagram classes.
  Typically, knot projections reveal little immediate information about the knots. For instance, an outwardly complicated diagram may represent the unknot. However, certain prominent diagram types, such as alternating and positive, force a knot to have much more structure. In particular, the Tait conjecture pertains to the minimality of alternating diagrams with respect to the crossing number. It was not until the renowned discovery of the Jones polynomial in the mid-80s that the conjecture was proved. Our primary goal is to obtain comparable results for positive diagrams. 
  The key machinery behind the proof of Tait’s conjecture is a combinatorial model for the Jones polynomial based on the so-called skein relation. In the present thesis, we further developed that machinery in the realm of the HOMFLY-PT polynomial, which generalizes the Jones polynomial.
  The HOMFLY-PT polynomial is a unique function that maps each oriented diagram to a two-variable Laurent polynomial and satisfies the skein relation and a certain normalization. Since this invariant is defined in terms of diagrams, it is unsurprising that the ‘complexity’ of the diagram is bounded by the ‘complexity’ of the polynomial. Naturally, we focus on the corresponding estimates.
  In the spirit of the classics, we examine these estimates for positive diagrams and discover new minimality criteria for the crossing number and the braid index.
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.language.iso
metadata.value: ru
metadata.name: dc.subject
metadata.value: инварианты узлов
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: меры сложности
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: гипотезы Тейта
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: многочлен HOMFLY-PT
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: knot invariants
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: complexity measures
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: Tait conjectures
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: HOMFLY-PT polynomial
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title
metadata.value: Combinatorics of the HOMFLY-PT polynomial
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title.alternative
metadata.value: Комбинаторика многочлена HOMFLY-PT
metadata.lang: ru_RU
resources.filename: Combinatorics_of_the_HOMFLY_PT_polynomial__Ilya_Alekseev_.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/39629/2/Combinatorics_of_the_HOMFLY_PT_polynomial__Ilya_Alekseev_.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: Article
resources.size: 1,09 MB
resources.filename: reviewSV_2022_Otzyv_VKR_Ila.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/39629/3/reviewSV_2022_Otzyv_VKR_Ila.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: ReviewSV
resources.size: 88,53 kB
resources.filename: reviewSV_st054413_Alekseev_Ila_Sergeevic_(supervisor)(Ru).txt
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/39629/4/reviewSV_st054413_Alekseev_Ila_Sergeevic_%28supervisor%29%28Ru%29.txt
resources.format: Text
resources.description: ReviewSV
resources.size: 5,24 kB