title: Moves and transformations in knot theory
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Дынников Иван Алексеевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Dynnikov Ivan Alekseevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Миллер Алексей Юрьевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Miller Aleksej Urevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Малютин Андрей Валерьевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Malutin Andrej Valerevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.date.accessioned
metadata.value: 2023-04-06T21:47:59Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.available
metadata.value: 2023-04-06T21:47:59Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.issued
metadata.value: 2022
metadata.name: dc.identifier.other
metadata.value: 054412
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.identifier.uri
metadata.value: http://hdl.handle.net/11701/39628
metadata.lang: -
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: Настоящая работа относится к теории узлов и посвящена исследованию геометрических преобразований узлов и зацеплений. Под преобразованием мы понимаем такую геометрическую процедуру, которая по данному зацеплению возвращает некоторое новое зацепление. Предполагается, что преобразование может по одному и тому же исходному зацеплению возвращать различные зацепления в зависимости от способа её применения. Геометрические преобразования играли существенную роль в развитии теории узлов со времен работ Тейта, однако восприятие их как элементов единой теории появилось только к концу двадцатого века. Одним из ключевых понятий, структурирующих теорию преобразований и позволяющих универсально и эффективно работать с ними, является понятие гордиева графа. Гордиев граф для некоторого данного преобразования это такой граф, множеством вершин которого служит некоторый набор зацеплений, а ребро между двумя вершинами проводится тогда и только тогда, когда зацепления, соответствующие этим вершинам, можно получить друг из друга однократным применением данного преобразования. Мы рассматриваем гордиевы графы вместе с естественной метрикой на них. В исследовании преобразований гордиевы графы помогают не только увидеть новые структуры на множестве всех зацеплений и концептуально переосмыслить некоторые так называемые “локальные” свойства преобразований (иными словами, такие свойства, которые можно сформулировать и без использования понятия гордиева графа), придав им явный геометрический вид и упростив восприятие, но и обнаружить некие новые “глобальные” свойства, незаметные без привлечения этой техники. Наша работа посвящена исследованию ряда таких “глобальных” свойств преобразований узлов.
  
  
  В 2005 году Гамбаду и Гис поставили вопрос о поведении на бесконечности Гордиева графа преобразования переключения перекрестков, предложив исследовать его “концы”, то есть неограниченные компоненты связности дополнения ограниченных подмножеств вершин. Приведенный в данной работе метод позволяет ответить на данный вопрос в существенно большей общности. Мы приводим полное описание поведения на бесконечности Гордиевых графов трех широких семейств преобразований, а именно, рациональных преобразований, C(n)-преобразований и H(n)-преобразований (заметим, что преобразование переключения перекрестков входит в первые два семейства). 
  
  Также в 2005 году Марш привел иной взгляд на вопрос о поведении гордиевых графов на бесконечности, предложив рассматривать дополнения конечных подмножеств вершин. Мы приводим описание поведения на бесконечности в этом смысле для всех локальных преобразований с бесконечной окрестностью тривиального узла в соответствующем гордиевом графе.
  
  В работе применяются техники классической комбинаторной теории узлов, методы из теории разветвленных накрытий, теории рациональных тэнглов и теории полиномиальных инвариантов зацеплений. В начале мы приводим краткий обзор становления теории преобразований узлов, проследив историю преобразования переключения перекрестков.
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: The present thesis refers to the theory of knots and is devoted to the study of geometric transformations of knots and links. A geometric transformation is any procedure that transforms a given link into some new link and admits a natural description in spatial terms. As a rule, we can obtain many distinct links from the same given link by choosing one or another way of applying the same procedure. Geometric knot transformations have played a significant role in knot theory since Tait's work. However, a perception of them as elements of an important subtheory appeared only towards the end of the twentieth century. One of the key concepts that structure the theory of knot transformations and make it possible to work universally and effectively with them is the concept of a Gordian graph. A Gordian graph for some given transformation is a graph whose vertex set is some set of links and two vertices are connected by an edge if and only if the corresponding links are obtained from each other by a single application of this transformation. We assume that these graphs are equipped with natural metrics. In the study of transformations, Gordian graphs help us to notice new structures on the set of all links and rethink some of the so-called “local” properties of transformations (”local” properties are those ones that can be formulated without using the concept of a Gordian graph), giving them a geometric form. But in addition, Gordian graphs allow us to see some new “global” properties that are "invisible" without using this technique. Our work  is devoted to the study of such “global” properties of knot transformations.
  
  In 2005, Gambaudo and Ghys raised the question of the behavior at infinity of the crossing change Gordian graph. They proposed studying its “ends”, that is, unbounded connected components of complements of bounded subsets. The method presented in this thesis allows us to answer this question in much greater generality. We provide a complete description of the behavior at infinity for knot transformations from three well-known infinite families, namely, rational moves, $C(n)$-moves, and $H(n)$-moves (note that each of the first two families contains the crossing change).
  
  Also, in 2005, Marché gave a different perspective on the behavior of Gordian graphs at infinity, proposing to consider complements of finite subsets. We describe the behavior at infinity in this sense for all local moves with the infinite neighborhood of the unknot in the corresponding Gordian graph.
  
  In this thesis, we apply techniques of the classical combinatorial knot theory, methods from the theory of branched coverings, the theory of rational tangles, and the theory of polynomial link invariants. We begin with a brief overview of the knot transformation theory formation by tracing the history of the crossing change.
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.language.iso
metadata.value: ru
metadata.name: dc.subject
metadata.value: Теория узлов
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: локальные преобразования
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: рациональные преобразования
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: C(n)-преобразования
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: H(n)-преобразования
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: Knot theory
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: local moves
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: rational moves
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: C(n)-moves
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: H(n)-moves
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title
metadata.value: Moves and transformations in knot theory
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title.alternative
metadata.value: Преобразования в теории узлов
metadata.lang: ru_RU
resources.filename: Master_Thesis__Miller_.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/39628/2/Master_Thesis__Miller_.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: Article
resources.size: 26,15 MB
resources.filename: reviewSV_2022_Otzyv_VKR_Aleksej.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/39628/3/reviewSV_2022_Otzyv_VKR_Aleksej.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: ReviewSV
resources.size: 86,79 kB
resources.filename: reviewSV_st054412_Miller_Aleksej_Urevic_(supervisor)(Ru).txt
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/39628/4/reviewSV_st054412_Miller_Aleksej_Urevic_%28supervisor%29%28Ru%29.txt
resources.format: Text
resources.description: ReviewSV
resources.size: 3,64 kB