title: Properties of lattice polytopes
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Гусакова Анна Григорьевна
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Gusakova Anna Grigorevna
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Досполова Мария Каиржановна
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Dospolova Maria Kairzanovna
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Запорожец Дмитрий Николаевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Zaporozec Dmitrij Nikolaevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.date.accessioned
metadata.value: 2021-07-31T18:26:42Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.available
metadata.value: 2021-07-31T18:26:42Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.issued
metadata.value: 2021
metadata.name: dc.identifier.other
metadata.value: 062485
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.identifier.uri
metadata.value: http://hdl.handle.net/11701/30471
metadata.lang: -
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: В данной работе рассмотрены различные свойства выпуклых многогранников с вершинами в целочисленной решетке. А именно, представлен дискретный аналог k-ого внутреннего объема такого многогранника P (который мы назвали k-ым дискретным внутренним объемом), являющийся аддитивной функцией на множестве всех выпуклых решетчатых многогранников, и изучены его свойства. В частности, доказано предельное равенство при n стремящемся к бесконечности k-ого внутреннего объема многогранника nP (n - натуральное число) и  дискретного k-ого внутреннего объема nP. Как следствие аддитивности, дискретный k-ый внутренний объем многогранника nP для фиксированного P является многочленом от n. Этот результат является своего рода обобщением дискретного объема выпуклого решетчатого многогранника, впервые рассмотренного Эрхартом.
  
  Другим результатом данной работы является еще одно обобщение, позволяющее связать сразу два ранее известных способа определения дискретных объемов: как количество точек решетки в многограннике и как сумму по точкам решетки телесных углов касательных конусов к многограннику в этих точках. Таким обобщением служит решетчатая сумма введенных нами модифицированных грассмановых углов многогранника в целочисленных точках. Изучены свойства этой обобщающей функции и доказано, что модифицированное определение грассмановых углов связано с исходным, причем именно новое определение, в отличие от исходного, влечет аддитивность обобщающей функции на множестве выпуклых решетчатых многогранников. Более того, новое определение само по себе удобнее во многих случаях, что также отражено в работе.
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: In the thesis, we consider different properties of convex polytopes with vertices in an integer lattice. Namely, we present a discrete analogue of the k-th intrinsic volume of such a polytope P (we called it the k-th discrete intrinsic volume), which is an additive function on the set of all convex lattice polytopes, and study its properties. In particular, we showed an asymptotic equality as n tends to infinity of the k-th intrinsic volume of the polytope nP (n is a natural number) and the k-th discrete intrinsic volume of nP. As a consequence of the additivity, the k-th discrete intrinsic volume of the polytope nP for a fixed P is a polynomial in n. This result is a kind of generalization of the discrete volume of the convex lattice polytope first considered by Ehrhart.
  
  Another result of this thesis is one more generalization that allows one to connect two previously known methods for determining discrete volumes at once: as the number of lattice points in a polytope and as the sum over the lattice points of the solid angles of tangent cones to the polytope at these points. Such a generalization is the lattice sum of the introduced by us modified Grassmann angles of the polytope at the integer points. The properties of this generalizing function are studied and it is proved that the modified definition of Grassmann angles is related to the original one, and it is the new definition, in contrast to the original one, that implies the additivity of the generalizing function on the set of convex lattice polytopes. Moreover, the new definition itself is more convenient in many cases, which is also considered in the paper.
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.language.iso
metadata.value: ru
metadata.name: dc.subject
metadata.value: решетчатый многогранник
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: дискретный объем
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: внутренний объем
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: дискретный внутренний объем
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: конический внутренний объем
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: грассманов угол
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: многочлен Эрхарта
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: телесный угол
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: валюация
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: lattice polytope
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: discrete volume
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: intrinsic volume
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: discrete intrinsic volume
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: conic intrinsic volume
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: Grassmann angle
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: Ehrhart polynomial
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: solid-angle polynomial
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: solid angle
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: valuation
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title
metadata.value: Properties of lattice polytopes
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title.alternative
metadata.value: Свойства решетчатых многогранников
metadata.lang: ru_RU
resources.filename: VKR_Dospolova_M.K..pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/30471/1/VKR_Dospolova_M.K..pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: Article
resources.size: 436,64 kB
resources.filename: reviewSV_review_diploma_dospolova_2021.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/30471/2/reviewSV_review_diploma_dospolova_2021.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: ReviewSV
resources.size: 87,67 kB