title: Algebraic and semi-algebraic proof systems using algebraic circuits
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Кноп Александр Анатольевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.advisor
metadata.value: Knop Aleksandr Anatolevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Алексеев Ярослав Юрьевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.author
metadata.value: Alekseev Aroslav Urevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Гирш Эдуард Алексеевич
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.contributor.editor
metadata.value: Girs Eduard Alekseevic
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.date.accessioned
metadata.value: 2021-03-26T09:36:07Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.available
metadata.value: 2021-03-26T09:36:07Z
metadata.lang: -
metadata.name: dc.date.issued
metadata.value: 2020
metadata.name: dc.identifier.other
metadata.value: 054416
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.identifier.uri
metadata.value: http://hdl.handle.net/11701/26775
metadata.lang: -
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: Мы рассмотрим несколько обобщений системы доказательств $\mathsf{Polynomial}$ $\mathsf{Calculus}$, а именно систему $\mathsf{Ideal}$ $\mathsf{Proof}$ $\mathsf{System}$ , в которой полиномы записываются в виде алгебраической схемы, систему $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$, в которой мы разрешаем вводить дополнительные переменные, обозначающие полиномы от изначальных переменных, систему $\mathsf{Depth}$-$\mathsf{inf}$-$\mathsf{PC}$ , в которой мы разрешаем вводить дополнительные переменные, обозначающие произвольные полиномы. 
  
  В предположении гипотезы Шуба-Смейла  о том, что не существует арифметической схемы размера $(\log(n) + b)^c$ для вычисления $c_n n!$, мы докажем условную экспоненциальную нижнюю оценку на размер опровержений системы полиномиальных равенств $\mathsf{BVP}_n$ в системе $\mathsf{IPS}_{\mathbb{Q}}$. $\mathsf{BVP}_n$ включает в себя равенство вида $\sum x_i 2^{i - 1} + 1 = 0$ и булевы аксиомы вида $x_i^2 - x_i = 0$. 
  
  Кроме того, мы докажем нижнюю оценку на размер доказательства $\mathsf{BVP}_n$ в системе $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$. После этого мы докажем, что система $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ полиномиально моделирует систему $\mathsf{Res(Lin)}$  в случае, когда коэффициенты не превосходят полинома от размера доказательства. Из этого моделирования мы получим верхние оценки в системе $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$, тем самым окажется, что система $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ строго сильнее $\mathsf{Polynomial}$ $\mathsf{Calculus}$. Наконец, мы покажем, что система $\mathsf{Depth}$-$\mathsf{inf}$-$\mathsf{PC}$ полиномиально моделирует систему $\mathsf{Res(Lin)}$.
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.description.abstract
metadata.value: In this paper we study some extentions of $\mathsf{Polynomial}$ $\mathsf{Calculus}$ proof system, in particular, the $\mathsf{Ideal}$ $\mathsf{Proof}$ $\mathsf{System}$, where polynomials are represented as an algebraic circuit, the $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ system, where we allow introduction of new variables, corresponding to polynomials in the original variables, the  $\mathsf{Depth}$-$\mathsf{inf}$-$\mathsf{PC}$, where we allow introduction of new variables, corresponding to arbitrary polynomials.
  
  We introduce the binary value principle which is a simple subset-sum instance expressing that a natural number written in binary cannot be negative, relating it to central problems in proof and algebraic complexity. We prove conditional superpolynomial lower bounds on the Ideal Proof System (IPS) refutation size of this instance, based on a well-known hypothesis by Shub and Smale about the hardness of computing factorials. 
  
  Also, we prove unconditional lower bound on the $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ proof system refutation size of binary value principle. Then, we show that $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ polynomially simulates $\mathsf{Res(Lin)}$ proof system in case when coefficients are not greater than the polynomial in the refutation size. We use this simulation to obtain polynomial upper bounds in $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ proof system, thus the  $\mathsf{Ext}$-$\mathsf{PCR}$ is proved to be strictly stronger than $\mathsf{Polynomial}$ $\mathsf{Calculus}$.  Finally, we show that $\mathsf{Depth}$-$\mathsf{inf}$-$\mathsf{PC}$ polynomially simulates $\mathsf{Res(Lin)}$ system.
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.language.iso
metadata.value: ru
metadata.name: dc.subject
metadata.value: теория сложности
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: сложность доказательств
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: алгебраические системы доказательств
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: схемная сложность
metadata.lang: ru_RU
metadata.name: dc.subject
metadata.value: proof complexity
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: algebraic proof systems
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.subject
metadata.value: circuit complexity
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title
metadata.value: Algebraic and semi-algebraic proof systems using algebraic circuits
metadata.lang: en_GB
metadata.name: dc.title.alternative
metadata.value: Алгебраические и полуалгебраические системы доказательств, использующие алгебраические схемы
metadata.lang: ru_RU
resources.filename: Diploma_final__1_.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/26775/1/Diploma_final__1_.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: Article
resources.size: 495,63 kB
resources.filename: reviewSV_bscdiploma_signed.pdf
resources.url: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/26775/2/reviewSV_bscdiploma_signed.pdf
resources.format: Adobe PDF
resources.description: ReviewSV
resources.size: 134,6 kB